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Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

• Halb-beschränkte Operatoren

• Energetischer Raum

• Friedrichssche Erweiterung

• Quellen

• Einzelnachweise

Wir betrachten einen linearen Operator A {\displaystyle A} , der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums H {\displaystyle H} definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von A {\displaystyle A} und wird mit D ( A ) {\displaystyle D(A)} bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator A {\displaystyle A} zu einem auf einem D ( A ) {\displaystyle D(A)} umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator A {\displaystyle A} heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl c {\displaystyle c} gibt, so dass ⟨ ⟨ A ξ ξ , ξ ξ ⟩ ⟩ ≥ ≥ c ‖ ‖ ξ ξ ‖ ‖ 2 {\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}} für alle ξ ξ ∈ ∈ D ( A ) {\displaystyle \xi \in D(A)} . Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle ⟨ ⟨ A ξ ξ , ξ ξ ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle } reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das c {\displaystyle c} steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.cite-ref-1[1]

Sei A {\displaystyle A} ein halb-beschränkter Operator mit ⟨ ⟨ A ξ ξ , ξ ξ ⟩ ⟩ ≥ ≥ c ‖ ‖ ξ ξ ‖ ‖ 2 {\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}} für alle ξ ξ ∈ ∈ D ( A ) {\displaystyle \xi \in D(A)} und λ λ {\displaystyle \lambda } sei eine reelle Zahl mit λ λ + c > 0 {\displaystyle \lambda +c>0} . Sei

[ ξ ξ , η η ] λ λ := ⟨ ⟨ A ξ ξ , η η ⟩ ⟩ + λ λ ⟨ ⟨ ξ ξ , η η ⟩ ⟩ {\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\langle A\xi ,\eta \rangle +\lambda \langle \xi ,\eta \rangle } für ξ ξ , η η ∈ ∈ D ( A ) {\displaystyle \xi ,\eta \in D(A)} .

Dann ist [ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ] λ λ {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }} eine positiv definite Form auf D ( A ) {\displaystyle D(A)} und man kann daher die Norm ‖ ‖ ξ ξ ‖ ‖ λ λ := [ ξ ξ , ξ ξ ] λ λ {\displaystyle \|\xi \|_{\lambda }:={\sqrt {[\xi ,\xi ]_{\lambda }}}} auf D ( A ) {\displaystyle D(A)} definieren. D ( A ) {\displaystyle D(A)} ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

H λ λ := { ξ ξ ∈ ∈ H ; E s g i b t e i n e F o l g e ( ξ ξ n ) n i n D ( A ) m i t ‖ ‖ ξ ξ n − − ξ ξ ‖ ‖ ⟶ ⟶ n → → ∞ ∞ 0 u n d ‖ ‖ ξ ξ n − − ξ ξ m ‖ ‖ λ λ ⟶ ⟶ n , m → → ∞ ∞ 0 } {\displaystyle H_{\lambda }:=\{\xi \in H;{\rm {Es\,gibt\,eine\,Folge}}\,(\xi _{n})_{n}\,{\rm {in}}\,D(A)\,{\rm {mit}}\|\xi _{n}-\xi \|{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0\,{\rm {und}}\,\|\xi _{n}-\xi _{m}\|_{\lambda }{\stackrel {n,m\to \infty }{\longrightarrow }}0\}} .

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf H {\displaystyle H} bezieht. Eine Folge ( ξ ξ n ) n {\displaystyle (\xi _{n})_{n}} in der Definition von H λ λ {\displaystyle H_{\lambda }} heißt eine approximierende Folge für ξ ξ ∈ ∈ H λ λ {\displaystyle \xi \in H_{\lambda }} . Offenbar ist D ( A ) ⊂ ⊂ H λ λ {\displaystyle D(A)\subset H_{\lambda }} , denn für ξ ξ ∈ ∈ D ( A ) {\displaystyle \xi \in D(A)} kann man als approximierende Folge die konstante Folge ξ ξ n = ξ ξ {\displaystyle \xi _{n}=\xi } wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

• Sind ξ ξ , η η ∈ ∈ H λ λ {\displaystyle \xi ,\eta \in H_{\lambda }} mit approximierenden Folgen ( ξ ξ n ) n {\displaystyle (\xi _{n})_{n}} und ( η η n ) n {\displaystyle (\eta _{n})_{n}} , so existiert der Limes [ ξ ξ , η η ] λ λ := lim n → → ∞ ∞ [ ξ ξ n , η η n ] λ λ {\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\lim _{n\to \infty }[\xi _{n},\eta _{n}]_{\lambda }} und setzt die auf D ( A ) {\displaystyle D(A)} definierte Form fort.

• H λ λ {\displaystyle H_{\lambda }} ist mit der positiv definiten Form [ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ] λ λ {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }} ein Hilbertraum.

• Ist auch μ μ {\displaystyle \mu } eine reelle Zahl mit μ μ + c > 0 {\displaystyle \mu +c>0} , so ist H λ λ = H μ μ ⊂ ⊂ H {\displaystyle H_{\lambda }=H_{\mu }\subset H} als Mengen, die durch [ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ] λ λ {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }} bzw. [ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ] μ μ {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\mu }} definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum H λ λ {\displaystyle H_{\lambda }} hängt also nur von A {\displaystyle A} und nicht vom speziellen λ λ {\displaystyle \lambda } ab; er wird daher mit H A {\displaystyle H_{A}} bezeichnet und heißt der energetische Raum von A {\displaystyle A} .

Sei A {\displaystyle A} ein halb-beschränkter Operator. Dann ist A {\displaystyle A} symmetrisch, das heißt, es gilt A ⊂ ⊂ A ∗ ∗ {\displaystyle A\subset A^{*}} , wobei A ∗ ∗ {\displaystyle A^{*}} der adjungierte Operator ist. Definiert man

A F ξ ξ := A ∗ ∗ ξ ξ {\displaystyle A_{F}\xi :=A^{*}\xi } für ξ ξ ∈ ∈ D ( A F ) := H A ∩ ∩ D ( A ∗ ∗ ) {\displaystyle \xi \in D(A_{F}):=H_{A}\cap D(A^{*})} ,

so ist A F {\displaystyle A_{F}} ein selbstadjungierter Operator, der A {\displaystyle A} erweitert. A F {\displaystyle A_{F}} heißt die Friedrichssche Erweiterung von A {\displaystyle A} .

Man beachte, dass im Allgemeinen weder A {\displaystyle A} noch A ∗ ∗ {\displaystyle A^{*}} selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen A {\displaystyle A} und A ∗ ∗ {\displaystyle A^{*}} gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von A ∗ ∗ {\displaystyle A^{*}} auf diesem Teilraum ist. Es ist daher A ⊂ ⊂ A F ⊂ ⊂ A ∗ ∗ {\displaystyle A\subset A_{F}\subset A^{*}}

• Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.

cite-note-11. ↑ Franz Rellich: @1@2Vorlage:Toter Link/imu2.zib.deHalbbeschränkte Differentialoperatoren höherer Ordnung (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Januar 2021. Suche in Webarchiven) (PDF; 702 kB), 1954, abgerufen am 17. Juni 2011